2.2.3 Lepkość cieczy – współczynnik lepkości

Lepkość jest tą spośród fizycznych właściwości cieczy, która w największym stopniu decyduje o oporach przepływu w instalacjach hydraulicznych i – co za tym idzie – o kosztach energetycznych pompowania czynnika roboczego. To właśnie lepkość jest źródłem tarcia wewnętrznego w poruszającym się płynie, odpowiada za powstawanie warstwy przyściennej na powierzchniach przewodów oraz determinuje charakter przepływu – laminarny bądź turbulentny. Zrozumienie jej fizycznej istoty i matematycznego opisu jest warunkiem koniecznym do prawidłowego stosowania równań przepływu.

Lepkością wody (i szerzej – każdej cieczy) nazywamy zdolność stawiania oporu przy ruchu jej warstw poruszających się z różnymi prędkościami. Gdy woda przepływa przez przewód, poszczególne warstwy cieczy przesuwają się względem siebie z różnymi prędkościami – warstwa przy ściance jest praktycznie nieruchoma (warunek przyczepności), a prędkość rośnie ku osi przewodu. Na granicach między tymi warstwami pojawiają się siły tarcia wewnętrznego, przeciwdziałające wzajemnemu przemieszczeniu warstw – i właśnie te siły są przejawem lepkości.

Doświadczenie Newtona i prawo tarcia wewnętrznego

Fizyczne podstawy opisu lepkości wywodzą się z klasycznego doświadczenia myślowego zaproponowanego przez Newtona. Rozpatrzmy warstwę cieczy zawartą między dwiema równoległymi płaskimi powierzchniami odległymi od siebie o odległość z. Dolna powierzchnia jest nieruchoma, górna przesuwa się ze stałą prędkością v w kierunku poziomym pod wpływem siły F_T. Warstwa cieczy bezpośrednio przy górnej płytce porusza się z prędkością v (przyczepność do płytki), warstwa przy nieruchomym dnie – z prędkością zerową. Między nimi wytwarza się liniowy rozkład prędkości, a gradient prędkości w kierunku prostopadłym do przepływu wynosi v/z.

Newton wykazał doświadczalnie, że siła potrzebna do przesuwania płytki jest:

proporcjonalna do prędkości przesuwu v,
proporcjonalna do powierzchni płytki A,
odwrotnie proporcjonalna do odległości między płytkami z.

Zależność tę zapisujemy jako: $F_T \propto \frac{vA}{z}$ ∝ – symbol proporcjonalności
Wprowadzając współczynnik proporcjonalności μ, równanie przyjmuje postać prawa tarcia Newtona: $F_T = \mu \frac{vA}{z}$ Współczynnik μ jest charakterystyczną właściwością danej cieczy i nosi nazwę dynamicznego współczynnika lepkości. Jego jednostką w układzie SI jest N·s/m² (równoważnie: Pa·s).

Naprężenie styczne – uogólnienie prawa Newtona

Wprowadzając naprężenie styczne τ jako siłę tarcia przypadającą na jednostkę powierzchni (τ = F_T/A) oraz zastępując stosunek v/z przez lokalną pochodną prędkości dv/dz – co pozwala uwzględnić dowolny, w tym krzywoliniowy, rozkład prędkości – otrzymujemy uogólnioną postać prawa tarcia Newtona: $\tau = \pm \mu \frac{dv}{dz}$ Znak plus lub minus zależy od obranego kierunku osi z oraz od kształtu profilu prędkości, co ilustruje rysunek 2.2. Gdy prędkość rośnie wraz ze wzrostem z (przypadek a), naprężenie styczne jest dodatnie; gdy maleje (przypadek b) – ujemne. Fizyczna interpretacja pozostaje jednak zawsze ta sama: naprężenie styczne jest proporcjonalne do gradientu prędkości w kierunku prostopadłym do przepływu, a współczynnikiem proporcjonalności jest dynamiczny współczynnik lepkości μ.

Ciecze spełniające tę liniową zależność między naprężeniem stycznym a gradientem prędkości nazywamy płynami newtonowskimi. Woda, oleje mineralne, powietrze i większość czynników stosowanych w instalacjach budynkowych należą do tej grupy. Istnieją jednak substancje – krew, zawiesiny, roztwory polimerów, niektóre smary – dla których zależność między naprężeniem a gradientem prędkości jest nieliniowa – nazywamy je płynami nienewtonowskimi i wymagają one odrębnego aparatu obliczeniowego z zakresu reologii.

Dynamiczny i kinematyczny współczynnik lepkości

Dynamiczny współczynnik lepkości μ wody zależy przede wszystkim od temperatury i w znacznie mniejszym stopniu od ciśnienia zewnętrznego. Zależność tę można wyznaczyć ze wzoru empirycznego: $\mu = \frac{0{,}00178}{1 + 0{,}0337T + 0{,}000221T^2}$ gdzie μ wyrażony jest w N·s/m², a T oznacza temperaturę wody w °C. Wzór ten potwierdza obserwację, którą każdy inżynier instalacji powinien zapamiętać: lepkość wody maleje wraz ze wzrostem temperatury. W 0°C wynosi μ ≈ 1,78·10⁻³ Pa·s, w 20°C już tylko μ ≈ 1,01·10⁻³ Pa·s, a w 80°C spada do μ ≈ 0,37·10⁻³ Pa·s. Oznacza to, że gorąca woda w instalacji grzewczej płynie prawie pięciokrotnie łatwiej niż zimna – ma to bezpośrednie konsekwencje dla obliczeń hydraulicznych instalacji pracujących w zmiennych temperaturach.

W wielu wzorach i kryteriach podobieństwa hydraulicznego, w tym w definicji liczby Reynoldsa, stosowany jest kinematyczny współczynnik lepkości ν [m²/s], będący ilorazem lepkości dynamicznej i gęstości cieczy: $\nu = \frac{\mu}{\rho} \quad \left[\frac{m^2}{s}\right]$ Kinematyczny współczynnik lepkości jest wielkością wygodną obliczeniowo, ponieważ łączy w jednej liczbie dwie właściwości cieczy istotne dla opisu przepływu. Wartości ν dla wody i powietrza w funkcji temperatury przedstawiono w tabeli oraz na rysunku 2.3. Warto zwrócić uwagę na zasadniczą różnicę w zachowaniu obu ośrodków: lepkość kinematyczna wody maleje wraz ze wzrostem temperatury (od 1,78·10⁻⁶ m²/s w 0°C do 0,29·10⁻⁶ m²/s w 100°C), natomiast lepkość kinematyczna powietrza rośnie wraz z temperaturą (od 13,2·10⁻⁶ m²/s w 0°C do 23,1·10⁻⁶ m²/s w 100°C). Zjawisko to wynika z odmiennych mechanizmów przenoszenia pędu w cieczach i gazach – w gazach lepkość jest efektem zderzeń molekularnych, których intensywność rośnie z temperaturą, podczas gdy w cieczach dominującą rolę odgrywają siły kohezji, słabnące wraz z rozszerzaniem się struktury ciekłej.

Klasyfikacja cieczy nienewtonowskich

Ciecze, których naprężenia styczne nie podlegają liniowemu prawu Newtona, dzielą się na kilka charakterystycznych grup, mających odmienne znaczenie inżynierskie:

Ciecze plastyczne (ciecze Binghama) – ruch w tych cieczach jest możliwy dopiero po przekroczeniu określonej granicznej wartości naprężenia stycznego τ_gr, poniżej której substancja zachowuje się jak ciało stałe. Po przekroczeniu tej granicy zależność między naprężeniem a gradientem prędkości może być liniowa – taka ciecz nosi nazwę cieczy Binghama. Klasycznym przykładem praktycznym jest szlam kanalizacyjny oraz zawiesiny o dużym stężeniu cząstek stałych. W inżynierii środowiska znajomość granicy płynięcia ma kluczowe znaczenie przy projektowaniu pompowni osadów i przewodów tłocznych oczyszczalni ścieków.

Ciecze pseudoplastyczne – charakteryzują się zmniejszeniem lepkości wraz ze wzrostem naprężeń stycznych, co oznacza że im silniej je ścinamy, tym łatwiej płyną. Zachowanie to opisuje równanie potęgowe τ = k·(dv/dz)^a, gdzie wykładnik a < 1. Przykładami są płynne namuły, zawiesiny koloidalne oraz płynny beton. Zjawisko rozrzedzania przez ścinanie ma praktyczne znaczenie przy projektowaniu mieszalników i pomp do mediów o wysokim stężeniu zawiesin.

Ciecz idealna – jest to pojęcie abstrakcyjne, wprowadzone na potrzeby upraszczania teoretycznych analiz hydraulicznych. Ciecz idealna jest z definicji pozbawiona lepkości (μ = 0), całkowicie nieściśliwa (ρ = const), pozbawiona rozszerzalności cieplnej oraz napięcia powierzchniowego, o stałej gęstości niezależnej od żadnych czynników zewnętrznych. W naturze ciecz taka nie istnieje – każda rzeczywista ciecz wykazuje choćby śladową lepkość. Jednak model cieczy idealnej jest niezwykle użytecznym narzędziem: pozwala wyprowadzić fundamentalne zależności hydromechaniki, w tym równanie Bernoulliego, twierdzenie o pędzie czy równanie ciągłości, w ich najprostszej, przejrzystej postaci. Uzyskane rozwiązania stanowią punkt odniesienia, do którego wprowadza się następnie poprawki uwzględniające lepkość i inne właściwości rzeczywistego płynu.