2.2.6. Ciśnienie kapilarne wody

Rozważmy zakrzywioną swobodną powierzchnię cieczy ograniczoną przez element powierzchni dA = ds₁ds₂, gdzie ds₁ i ds₂ to wycinki dwóch krzywych leżących na tej powierzchni, o promieniach krzywizny odpowiednio r₁ i r₂. Napięcie powierzchniowe działa wzdłuż krawędzi tego elementu, a jego składowa w kierunku normalnym do powierzchni daje wypadkową siłę:$$dF = 2\sigma \, ds_2 \sin\frac{d\alpha_1}{2} + 2\sigma \, ds_1 \sin\frac{d\alpha_2}{2}$$Dla małych kątów α wyrażonych w mierze łukowej zachodzi przybliżenie sin(dα/2) ≈ dα/2, co upraszcza wyrażenie do postaci:$$p_{kap} = \frac{dF}{dA} = \sigma\left(\frac{d\alpha_1}{ds_1} + \frac{d\alpha_2}{ds_2}\right)$$Podstawiając zależność dα/ds = 1/r, otrzymujemy fundamentalne równanie wyprowadzone po raz pierwszy przez Laplace’a:$$p_{kap} = \sigma\left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right)$$Ciśnienie kapilarne p_kap jest zatem proporcjonalne do napięcia powierzchniowego σ oraz do sumy krzywizn swobodnej powierzchni cieczy. Gdy menisk jest wypukły – ciśnienie po stronie wypukłej jest wyższe; gdy wklęsły – po stronie wklęsłej.

Dla szczególnego przypadku kapilary o przekroju kołowym, gdzie menisk jest fragmentem sfery o promieniu r = r₁ = r₂, wzór Laplace’a przyjmuje prostą postać:$$p_{kap} = \frac{2\sigma}{r}$$Dla wąskiej szczeliny o szerokości a, gdzie jedna powierzchnia jest płaska (r₁ → ∞) a druga półwalcowa (r₂ = a/2), ciśnienie kapilarne wynosi:$$p_{kap} = \sigma\left(0 + \frac{2}{a}\right) = \frac{2\sigma}{a}$$Wysokość kapilarna

Na powierzchni swobodnej obustronnie otwartej kapilary ciśnienie z obu stron musi być jednakowe zgodnie z prawem hydrostatyki. Warunek równowagi łączy ciśnienie kapilarne z ciśnieniem hydrostatycznym słupa cieczy podniesionego w kapilarze:$$p_{kap} = \rho g h_{kap}$$Stąd wysokość podniesienia kapilarnego:$$h_{kap} = \frac{p_{kap}}{\rho g} = \frac{2\sigma}{\rho g r} = \frac{2\sigma}{\gamma r}$$Zależność ta wyraźnie pokazuje że wysokość kapilarna rośnie wraz ze zmniejszaniem się promienia kapilary – im cieńsza rurka, tym wyżej wznosi się ciecz. W cieczach tworzących menisk wklęsły (woda w szkle) ciecz podnosi się powyżej poziomu zewnętrznego, natomiast w cieczach tworzących menisk wypukły (rtęć w szkle) obserwuje się depresję kapilarną – obniżenie poziomu cieczy w kapilarze.

Znaczenie inżynierskie

Zjawisko kapilarne ma istotne znaczenie praktyczne w kilku obszarach inżynierii środowiska. W gruncie woda kapilarna wznosi się powyżej zwierciadła wód gruntowych, penetrując strefy nienasycone. Wysokość wzniesienia kapilarnego zależy silnie od uziarnienia gruntu: w żwirze nie przekracza kilku milimetrów, w piasku wynosi od 20 do 80 mm, natomiast w gruntach spoistych – iłach i pyłach – może osiągać wartości rzędu 400 mm i więcej. Zjawisko to ma bezpośredni wpływ na projektowanie izolacji przeciwwilgociowych fundamentów oraz ekranów uszczelniających zapór ziemnych. Jeżeli fartuchy uszczelniające zapory zbudowane z iłów lub glin nie są dostatecznie wysokie, podsiąkanie kapilarne może doprowadzić do przesiąkania wody przez korpus zapory, co stanowi poważne zagrożenie dla jej stateczności. W badaniach hydraulicznych na modelach fizycznych napięcie powierzchniowe może wprowadzać błędy skalowania przy przepływach przez przelewy i należy je uwzględniać przy interpretacji wyników badań modelowych. W technice pomiarowej zjawisko kapilarne powoduje błędy odczytu w piezometrach wykonanych z rurek szklanych o małej średnicy – przy małych średnicach należy wprowadzać poprawkę na wzniesienie lub depresję kapilarną, zależną od rodzaju stosowanej cieczy manometrycznej.